Risikomanagement: Manipulationsprüfungen mit statistisch ... / 2 Statistische Grundbegriffe

Zunächst sollen einige statistische Grundbegriffe in Erinnerung gerufen werden, die im Nachfolgenden für das Verständnis notwendig sind. So unterscheidet der Statistiker bei einer Erhebung, d. h. bei der Informationsbeschaffung, zwischen einer Teilerhebung und einer Vollerhebung, wobei bei einer Erhebung Daten über bestimmte Eigenschaften oder auch Merkmale von Objekten zusammengetragen werden. Eigenschaften von untersuchten Objekten besitzen Ausprägungen, d. h. einen Preis, eine Größe oder ein bestimmtes Qualitätsniveau. In diesem Beitrag werden als Ausprägungen nur Zahlenwerte erhoben.

Bei der Untersuchung von Eigenschaften der Menge aller interessierenden Objekte, der Grundgesamtheit, beschränkt man sich häufig aus Effizienzgründen stellvertretend für die Grundgesamtheit auf eine bestimmte Teilmenge von Objekten, d. h. eine Stichprobe. Eine Stichprobe oder auch Zufallsauswahl ist dadurch gekennzeichnet, dass die Auswahl der Objekte, die in der Stichprobe untersucht werden, zufällig erfolgt, d. h., jedes Objekt der Grundgesamtheit besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen.

Liegt eine Stichprobe vor, so kann man statistische Eigenschaften und Kennzahlen dieser Stichprobe ermitteln und hieraus Schätzungen für die Eigenschaften und Kennzahlen der Grundgesamtheit vornehmen. Dabei nennt man die statistischen Größen der Stichprobe die empirischen Größen, während man die Größen der Grundgesamtheit die wahren Größen nennt. Die mit Abstand wichtigste statistische Kennzahl stellt der Mittelwert dar. Um den wahren Mittelwert µ aus einer Stichprobe heraus zu schätzen, wählt man aus der Gesamtzahl der Objekte zufällig eine n-elementige Stichprobe aus und berechnet aus der Stichprobe den empirischen Stichprobenmittelwert x¯ als Schätzwert für den unbekannten wahren Parameter der Grundgesamtheit:

Der Statistiker formuliert dieses Vorgehen, indem er sagt, dass der empirische Parameter x¯ der Stichprobe eine erwartungstreue Schätzung mit minimaler Varianz für den wahren Parameter der Grundgesamtheit darstellt.