Zinsrechnung / 3 Zinseszinsrechnung

Bei der Zinseszinsrechnung werden die Zinszahlungen einer Periode zu dem zinstragenden Kapital addiert, d. h. der Betrag, auf den sich der Zinssatz bezieht, erhöht sich mit zunehmender Laufzeit. Das bedeutet, dass der Zinsbetrag einer Periode in den jeweils folgenden Perioden mitverzinst wird. Die so entstehenden Zinsansprüche des Kapitalgebers im ersten Jahr entsprechen den Zinsansprüchen bei einfacher Zinsrechnung. Im zweiten Jahr werden dann die angefallenen Zinsen des ersten Jahres mitverzinst, sodass der Zinsbetrag im zweiten Jahr i · K1 entspricht. Das am Ende des zweiten Jahres vorhandene Kapital errechnet sich wie folgt:

K2 =	K1 + i · K1 K1 · (1 + i) K0 · (1 + i) (1 + i) K0 · (1 + i)2

Diese Berechnung des Kapitalbetrages lässt sich für beliebige Laufzeiten analog durchführen:

K1 =	K0 · (1 + i)
K2 =	K0 · (1 + i)2
K3 =	K0 · (1 + i)3
·    ·    ·
Kn =	K0 · (1 + i)n

(1 + i)ⁿ wird als Aufzinsungsfaktor bezeichnet.

Die Entwicklung des Endkapitals in Abhängigkeit von der Laufzeit bei Zinseszinsrechnung verdeutlicht Abbildung 2.

Abb. 2: Endkapital in Abhängigkeit von der Laufzeit bei Zinseszins (aus: Kruschwitz, L.: Finanzmathematik, 3. Auflage, München, 2001, S. 11)

Im Vergleich zur einfachen Zinsrechnung ergibt sich bei der Zinseszinsrechnung für Laufzeiten über einem Jahr ein höherer Endwert. Diesen Sachverhalt zeigt Abbildung 3.

Abb. 3: Vergleich des Verlaufs des Endkapitals bei einfacher Zinsrechnung und bei Zinseszinsrechnung.

Durch Umstellung der Formel zur Ermittlung des Endwertes kann der Abzinsungsfaktor ermittelt werden, mit dem der heutige Wert einer künftigen Zahlung bestimmt werden kann: K0 = Kn / (1 + i)ⁿ

Praxis-Beispiel

Zinseszinsrechnung

1. Ein Betrag von 500.000 EUR wird zu einem Zinssatz von 5 % p.a. für 7 Jahre mit Zinseszins angelegt.

   Der Endbetrag K7 berechnet sich wie folgt:

   K7 = 500.000 EUR (1+ 0,05)⁷ = 703.550,20 EUR

2. Ein Anleger möchte heute einen Geldbetrag mit einer Verzinsung von 6 % anlegen, um in 10 Jahren einen Betrag von 100.000 EUR zu erhalten. Wie hoch muss das Anfangskapital sein?

   K0 = Kn / (1+ i)ⁿ

   K0 = 100.000 EUR / (1 + 0,06)¹⁰

   K0 = = 55.839,50 EUR

3. Einem Anleger stehen heute 50.000 EUR zur Verfügung, die er so anlegen möchte, dass er in 5 Jahren genau 80.000 EUR zur Verfügung hat. Zu welchem Zinssatz muss das Anfangskapital verzinst werden?

   i = (Kn/K0)^1/5 –1

   i = (80.000 / 50.000)^1/5 -1

   i = 0,0985

4. Ein Betrag in Höhe von 80.000 EUR soll zu einem Zinssatz von 4,5 % so angelegt werden, dass sich ein Endbetrag von 100.000 EUR ergibt. Mit welcher Laufzeit muss das Kapital angelegt werden?

   n = ln (Kn/K0) / ln(1 + i)

   n = ln (100.000 / 80.000) / ln (1 + 0,045)

   n = 5