Finanzmathematik für Controller / 2.3 Gemischte Verzinsung

Zinseszinsen und einfache Zinsen

Die Aufzinsungs- oder Zinseszinsformel (6) lautet Kn = K0 x (1+i)ⁿ. Sie gilt, wenn die Verzinsungszeit n volle Jahre beträgt. Geht die Verzinsungszeit über n volle Jahre hinaus, ist also ein Jahresbruchteil zu berücksichtigen, so werden für die vollen Jahre Zinseszinsen und für den Rest des unter einem Jahr liegenden Zeitraums einfache Zinsen berechnet. Diese Kombination aus beiden Verzinsungsarten heißt gemischte Verzinsung.

Wenn wir die Anzahl der ganzen Jahre mit N bezeichnen und den auf die ganzen Jahre folgenden Jahresbruchteil t nennen, dann ist auf die N ganzen Jahre die Aufzinsungsformel (6) anzuwenden. Sie ergibt den Endwert KN = K0 x (1+i)^N. Der Wert K0 + (1+i)^N ist sodann mit der Aufzinsungsformel (8) für einfache Zinsrechnung auf den Zeitpunkt N+t zu beziehen. Setzt man exemplarisch N = 2 und t = 0,5, dann ergibt sich folgender Zeitstrahl und folgende Aufzinsungsformel:

Abb. 9: Gemischte Verzinsung

Symbole:

N	=	Anzahl ganze Jahre
t	=	Bruchteil eines Jahres	=	Anzahl Tage : 365

Praxis-Beispiel

Gegeben ist das Anfangskapital von K0 = 10.000. Der Kalkulationszinssatz ist i = 0,05 = 5 %. Die Laufzeit beträgt N = 5 volle Jahre zuzüglich 100 Tage. Gesucht ist der Endwert Kn nach N vollen Jahren und dem Jahresbruchteil t = 100/365.

Lösung:

Ergebnis: Das Endkapital beläuft sich auf 12.937,65 Euro.

Zur gemischten Verzinsung, wie sie Gleichung (9) vorschlägt, gibt es eine einfache Alternative. Sie besteht darin, dass man die Aufzinsungsformel

(6)	Kn = K0 (1+i)n

weiterhin anwendet, und zwar mit gebrochenen Werten von n. In diesem Fall liegt keine gemischte Verzinsung vor, das heißt, auch für den Jahresbruchteil t werden Zinseszinsen berechnet.

Praxis-Beispiel

Der Endwert Kn soll für das obige Beispiel mit Hilfe der Zeit

berechnet werden.

Lösung:

Ergebnis:

Man erhält mit 12.934,56 einen guten Näherungswert. Die Differenz zum Ergebnis des obigen Beispiels beläuft sich auf 3,09 Euro.