Finanzmathematik für Controller / 1.1 Arithmetische Reihe

Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge entsteht, wenn Zahlen nach einem bestimmten Gesetz aufeinander folgen. Die einzelnen Zahlen sind die Glieder der Folge.

Praxis-Beispiel

a)	2, 4, 6, 8, 10	→ endliche Folge
b)	0, 4, 8, 12, ...	→ unendliche Folge
c)	20, 15, 10, 5, 0	→ fallende Folge
d)	1, 2, 3, 4, 5	→ steigende Folge
e)	7, 7, 7, 7, 7	→ konstante Folge

Zahlenreihe

Verbindet man die Glieder einer Folge mit dem Pluszeichen, so erhält man eine Zahlenreihe oder Reihe.

Praxis-Beispiel

a)	2 + 4 + 6 + 8 + 10	→ endliche Reihe
b)	0 + 4 + 8 + 12, ...	→ unendliche Reihe
c)	20 + 15 + 10 + 5 + 0	→ fallende Reihe (negative Differenz: d = - 5)
d)	1 + 2 + 3 + 4 + 5	→ steigende Reihe (positive Differenz: d = 1)

Am Zahlenstrahl lässt sich eine Reihe mit dem ersten Glied a und der konstanten Gliederdifferenz d wie folgt darstellen:

Für das n-te Glied z gilt also:

(1)

z = a + (n – 1) x d

(Endgliedformel)

Summenformel

Für praktische Berechnungen benötigt man häufig die Summe s der Glieder der arithmetischen Reihe, die sich bei einer langen Reihe am besten durch eine Formel errechnen lässt, die der große Mathematiker Karl Friedrich Gauß (1777 – 1855) schon als Schuljunge entwickelt haben soll.

Der Lehrer wollte seine Klasse damit beschäftigen, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Gauß meldete sich nach kurzem Überlegen und verkündete das Ergebnis 5.050. Sein Rechengang war genial einfach und einfach genial.

Abb. 1: Summe einer arithmetischen Reihe

Die Gaußsche Summenformel für arithmetische Reihen lautet:

(2)

Summenformel

(arithmetische Reihe)

a = Anfangsglied

d = Differenz

z = letztes Glied

n= Anzahl der Glieder

s = Summe der Glieder

Praxis-Beispiel

Gegeben ist die arithmetische Reihe mit a = 3, d = 2, n = 7.

Diese Reihe schreibt man zweimal untereinander, einmal vorwärts und einmal rückwärts. Dann addiert man die beiden Reihen und erhält die doppelte Summe 2s. Daraus ergibt sich durch Umformung die Summenformel.

Praxis-Beispiel

a = 7, d = 3, n = 6. Wie groß sind das letzte Glied und die Summe aller Glieder?