Finanzmathematik für Controller / 3.2 Rentenbarwert

(1) Problem und Lösung

Problem:

Bekannt ist die Renten-Zahlungsreihe, die aus n nachschüssigen Zahlungen der Höhe g besteht. Gesucht ist der heutige Wert (Barwert) K0 der Rente beim Zinssatz i.

Lösung:

Abb. 16: Barwert einer Zahlungsreihe

Gegenwartswert

Wenn man die Rentenzahlungen g jeweils einzeln diskontiert (abzinst), so erhält man für K0 (= Gegenwartswert der Zahlungsreihe) den Ausdruck:

(18)

Die Berechnung des Rentenbarwertes K0 ist nach dieser Methode stets möglich. Nachteilig ist jedoch, dass die Errechnung von K0 mit zunehmender Länge der Zahlungsreihen, also mit wachsendem n, immer zeitaufwendiger wird. Es liegt daher nahe, Gleichung (18) zu vereinfachen. Betrachtet man Gleichung (18) genauer, so erkennt man, dass eine geometrische Reihe vorliegt, bei der sich jedes Glied durch Multiplikation des vorhergehenden mit dem Faktor

ergibt. Das erste Glied unserer geometrischen Reihe lautet:

Somit können wir die oben entwickelte Summenformel (4) für geometrische Reihen verwenden und erhalten:

(19)

Rentenbarwert

Gleichung (19) dient zur Ermittlung des Barwertes einer Rente, bestehend aus n gleichen Zahlungen, die jeweils am Periodenende anfallen. Man hat also lediglich die konstante periodische Zahlung g mit dem Faktor

zu multiplizieren, um den Gegenwartswert der Zahlungsreihe zu erhalten. Weil dieser Faktor

1. alle Glieder der Zahlungsreihe mit dem Zinssatz i abzinst und
2. die Barwerte aller Glieder aufsummiert,

Diskontierungs- summenfaktor

heißt er Abzinsungssummenfaktor oder Diskontierungssummenfaktor (DSF). Gelegentlich wird er auch Kapitalisierungs-, Barwert- oder Rentenbarwertfaktor genannt. Eine alternative Schreibweise, bei der (1+i) = q gesetzt wird, lautet:

Man beachte, dass der Diskontierungssummenfaktor nur dann anwendbar ist, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Zahlung...