Chi-Quadrat-Test im Risikocontrolling / 5 Chi-Quadrat-Tests

Im Bereich der Signifikanztests soll im Folgenden eine in der Praxis besonders wichtige Klasse von statistischen Tests vorgestellt werden, nämlich die Chi²-Tests.^[1] Die Chi²-Verteilung beschreibt das Verhalten einer Summe von Quadraten von k unabhängigen, N(0,1)-normalverteilten Variablen Xi :

Freiheitsgrad

Die Anzahl der betrachteten Variablen fließt in Gestalt des Freiheitsgrades in die Werte der Chi-Verteilung ein, wobei der Freiheitsgrad (degree of freedom: df) bei k betrachteten Variablen die Gleichung df = k erfüllt. Der Freiheitsgrad lässt sich weiterhin im Erwartungswert und in der Varianz der Chi²-Verteilung wiederfinden, denn es gilt E(χ²) = df und Var(χ²) = 2 ˙ df. Für Stichprobengrößen n ≥ 100 kann die Chi²-Verteilung durch die Normalverteilung, genauer durch eine N(df, 2 ˙ df)-Verteilung, approximiert werden.

Chi²-Anpassungstest

Verteilungshypothese

Häufig hat man es in der Praxis mit Fragestellungen zu tun, die Annahmen über unbekannte Verteilungen von Grundgesamtheiten betreffen. In seiner ersten Ausprägung, dem Chi²-Anpassungstest, wird die Chi²-Verteilung zur Prüfung von Verteilungshypothesen eingesetzt, bei denen man untersucht, ob die in einer Stichprobe beobachtete Verteilung mit der aufgrund der Verteilungsannahme erwarteten Verteilung der Grundgesamtheit in Widerspruch steht oder nicht.

Abb. 2:Chi²-Testvergleich mit kritischem Bereich

Ablehnung der Nullhypothese

Die Nullhypothese H0 lautet in diesem Fall, dass die beobachtete und die theoretische Verteilung übereinstimmen. Die Nullhypothese ist abzulehnen, wenn die vorliegenden Daten signifikant gegen H0 sprechen. In diesem Fall kann man die Gegenhypothese als bestätigt ansehen, d. h., die Daten unterliegen also nicht der vermuteten Verteilung. Anderenfalls sprechen die Daten nicht signifikant gegen die Nu...