Finanzmathematik für Controller / 1.2 Endliche geometrische Reihe

Zahlenfolge durch Multiplikation

Eine Zahlenfolge oder –reihe heißt geometrisch, wenn sich jedes folgende Glied aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor f errechnet. Wenn man ein Glied mit f multipliziert, entsteht das nächste Glied.

Der typische Anwendungsfall für die Summenformel der geometrischen Reihe im Controlling ist die Zinseszinsrechnung. Wer 10. 000 Euro zum Zinssatz von 7% anlegt, sieht eine geometrische Folge vor sich:

10.000, 10.700, 11.449, 12.250,43 ...

Bezeichnet man das Anfangsglied einer geometrischen Reihe mit a, den Faktor mit f und die Anzahl der Glieder mit n, so erhält man die allgemeine Form der geometrischen Reihe:

Für das letzte oder n-te Glied z gilt also:

Zur Ermittlung der Summenformel für geometrische Reihen schreibt man die Reihe in allgemeiner Form auf. Darunter schreibt man trickreich die gleiche Reihe, nachdem jedes Glied der oberen Reihe mit dem Faktor f multipliziert wurde. Danach subtrahiert man von der zweiten erweiterten Zeile die erste nicht erweiterte und löst nach s auf.

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Summenformel geometrische Reihe

Symbole:

a = Anfangsglied

f = Faktor

z = letztes Glied

n = Anzahl der Glieder

s = Summe der Glieder

Controller-Fähigkeiten

Ein Controller wird nicht nach dem Beweis für eine bestimmte mathematische Formel gefragt. Deshalb können Sie diesen und die anderen drei Beweise dieses Beitrags so gelassen betrachten wie die TV-Werbung. Nicht der Beweis ist wichtig, sondern die Controller-Fähigkeit, für eine vorgegebene Fragestellung die richtige Formel zu finden und mit ihr sachkundig umzugehen. Und so achtet der Controller bei einem Beweis auf Start und Ziel. Start: Welches Problem liegt vor? Antwort: Errechnung der Summe d...