Risikomanagement: Manipulationsprüfungen mit statistisch ... / 11 Die Excel-Datei

In der beiliegenden Excel-Datei "Statistische Prüfung von Zufälligkeiten" werden die vorgestellten Tests anhand des Beispiels mit den 55 Tagesergebnissen vorgestellt. Wie man beim Studium der Datei "Zufall" schnell herausfindet, sind alle diskutierten statistischen Methoden sehr leicht in Excel umsetzbar und ebenso einfach ist die Datei auf Problemstellungen des Tagesgeschäftes übertragbar. Für jeden Test werden auf einem eigenen Blatt die notwendigen Zwischenergebnisse und Endresultate berechnet, die dann auf das Ergebnisblatt "Ergebnisse" übertragen und dort kompakt dargestellt werden.

Die bei einigen Tests abgeleiteten binären Datenreihen bzw. Phasen steigender oder fallender Abschnitte in der Beobachtungsreihe werden in Excel mit Hilfe der Vorzeichenfunktion bestimmt, indem zwei aufeinander folgende Folgenwerte voneinander subtrahiert werden und anhand des Vorzeichens entschieden wird, ob eine steigende oder eine fallende Phase bzw. eine Sequenz vorliegt. Das Ergebnisblatt "Ergebnisse" der verschiedenen Tests auf Zufälligkeit zeigt Abb. 4.

Abb. 4:Alle Testergebnisse im Überblick

Zunächst werden die wichtigsten Stichprobenparameter der 55 Zahlenwerte im linken Teil des Ergebnisblattes dargestellt. Hierzu zählt neben dem Mittelwert auch die Standardabweichung, der Median sowie der größte und der kleinste auftretende Wert in den 55 Zahlenwerten. Der rechte Teil gibt die Ergebnisse der Tests auf Zufälligkeit der vier vorgestellten Verfahren wieder. Dabei wird im gelben Feld zunächst eine Irrtumswahrscheinlichkeit festgelegt, in unserem Beispiel 5 %, an der die Ergebnisse der durchgeführten Tests gemessen werden. Das Ergebnisblatt greift dabei auf die Resultate derjenigen Excel-Blätter zurück, die jeweils für jeden Test angelegt wurden. Die Details der Testergebnisse werden dann für jeden Test in der unteren Hälfte des Ergebnisblatts präsentiert.

Den Anfang bildet die Schätzung für den Mittelwert, dessen Ergebnisse bereits am Anfang des Artikels diskutiert wurden. Hieran schließt sich der Iterationstest an, der die Anzahl der aufsteigenden bzw. abfallenden Iterationen bzw. Sequenzen innerhalb der 55 Werte auswertet. Die Zahl 32 zeigt an, dass sich das Ergebnis im Beispiel innerhalb des 95-%-Konfidenzintervalls befindet, was heißt, dass innerhalb der 55 Zahlenwerte gerade so viele Iterationen (Sequenzen, Runs, Phasen) auftreten, dass man die Hypothese der Zufälligkeit nicht verwerfen kann. Die genaue Anzahl von Sequenzen, d. h. jeweils 16 aufsteigende und fallende Sequenzen, sind im Ergebnisblatt ebenso zu finden wie die Grenzen des 95-%-Konfidenzintervalls.

Analoge Ergebnisse liefern auch die folgenden drei Tests, denn hier signalisieren die drei schwarzen Testgrößen, dass es zu keinen signifikanten Resultaten, die der Zufälligkeit widersprechen, gekommen ist, denn das Ergebnisblatt ist so formatiert, dass im Falle einer signifikanten Widerlegung der Hypothese der Zufälligkeit die Ergebnisgröße im Teil oben rechts rot eingefärbt wird.

So widerspricht das Ergebnis des Iterationslängentests ebenfalls nicht der Zufälligkeitshypothese, wobei der p-Wert die Irrtumswahrscheinlichkeit bei Ablehnung der Zufälligkeitshypothese angibt. In unserem Beispiel ist aus den Testergebnissen ersichtlich, dass die größte in der Zahlenmenge auftretende Iterationslänge 5 darstellt, wobei der zugehörige Lambda-Wert 1,43 ist, bei dem man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von ca. 76 % rechnen muss, falls man aufgrund der Testergebnisse die Zufälligkeitshypothese ablehnen würde. Dieser p-Wert liegt erheblich über der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 %.

Ein analoges Resultat liefert auch der Phasenverteilungstest, der einen p-Wert von ca. 17 % zu Tage fördert. Im Unterschied zu den vorausgegangenen Tests stützt sich der Phasenverteilungstest auf den Chi-Test, der beobachtete und erwartete Werte gegenüberstellt. Folglich liefert auch der Phasenverteilungstest mit seinem p-Wert keine signifikante Widerlegung der Zufälligkeitshypothese. Der abschließende Trendtest reiht sich mit seiner Aussage nahtlos in die Reihe der vorangegangenen Tests, denn seine Testgröße von –2 liegt genau innerhalb des 95-%-Konfidenzintervalls (-5,25; 5,25), sodass auch mit dem Trendtest die Zufälligkeitshypothese nicht signifikant widerlegt werden kann. Trotzdem kann durch die Prüfgröße des Trendtests ein leicht fallender Gesamttrend innerhalb der 55 Zahlenwerte nachgewiesen werden.

Insgesamt lässt sich feststellen, dass von den vier vorgestellten Tests keiner imstande ist, die Zufälligkeitshypothese zu widerlegen, sodass anhand der Ergebnisse der statistischen Analyse mit den hier vorgestellten Verfahren kein Grund zum Zweifeln an dem zufälligen Zustandekommen der Folge der Tagesergebnisse besteht. Würde aber nur ein Test der Zufälligkeitshypothese widersprechen, dann könnten nur weitere, tiefer gehende Analysen die aufgetretenen Zweifel am Zustandekommen der Zahlenreihe ausräumen. Erst eine inhaltliche Überprüfungen von Belegen und Hintergrundinformation...