Finanzmathematik für Controller / 3.4 Verrentung einer heutigen Zahlung

(1) Problem und Lösung

Problem:

Bekannt ist die heutige Zahlung der Höhe K0. Gesucht ist die zugehörige Rente mit der regelmäßigen Zahlung von g über n Perioden beim Zinssatz i.

Lösung:

Die Umrechnung einer einmaligen heutigen Zahlung in eine Renten-Zahlungsreihe heißt Verrentung. Renten-Zahlungsreihe und heutige Einmalzahlung müssen wirtschaftlich gleichwertig (äquivalent) sein.

Abb. 28: Verrentung einer heutigen Einmalzahlung

Controlling-Aufgaben

Probleme dieser Art hat der Controller etwa dann zu lösen, wenn

• eine heute fällige Lebensversicherung verrentet werden soll,
• die Anschaffungsauszahlung für ein Investitionsobjekt auf die Laufzeit umzulegen ist,
• die zu einem Darlehen gehörende Annuität (= gleichbleibende Jahreszahlung, bestehend aus Zins- und Tilgungsanteil) zu ermitteln ist.

Im ersten Fall will man wissen, welche Jahresrente bei Verzicht auf Barauszahlung der Lebensversicherung zu erwarten ist. Dabei besteht die Jahresrente aus zwei Komponenten: den Zinsen auf die einbehaltene Lebensversicherungssumme und dem Tilgungsanteil. Bei einer Investition mit einer bestimmten Anschaffungsauszahlung fragt man, wie hoch der jährlich (netto) einzunehmende Geldbetrag sein muss, damit erstens die Anschaffungsauszahlung wiedergewonnen wird und zweitens die ausstehenden Beträge zum Kalkulationszinsfuß verzinst werden. Entsprechend fragt man bei einem Darlehen, welcher Jahresbetrag zur Begleichung von Zins und Tilgung anzusetzen ist.

Lösung:

Da wir das entgegengesetzte Problem, nämlich die Errechnung des Barwertes K0 einer Zahlungsreihe, bereits lösen können, ist lediglich die oben entwickelte Rentenbarwertformel (19)

nach der nunmehr gesuchten Größe g aufzulösen. Man erhält dann:

(24)

Abb. 83: KWF = Kapitalwiedergewinnungsfaktor

Kapitalwieder- gewinnungsfaktor

Der dabei erhaltene Faktor

(Kehrwert des Diskontierungssummenfaktors) heißt Verrentungsfaktor, Annuitätenfaktor oder auch Kapitalwiedergewinnungsfaktor. Er gestattet die Ermittlung jener Zahlungsreihe, die einer einmaligen, zum Zeitpunkt 0 anfallenden Zahlung wirtschaftlich gleichwertig (äquivalent) ist. Er verteilt einen jetzt fälligen Geldbetrag in gleiche Annuitäten auf die kommenden Jahre (Kurzformel: verwandelt "Einmalzahlung jetzt" in Zahlungsreihe).

Gelöstes Problem	Neues Problem
Ermittlung des Barwertes einer Zahlungsreihe	Verrentung einer heutigen Zahlungsreihe

Bekannte Lösung

Neue Lösung

Abb. 29: Kapitalwiedergewinnungsfaktor als Kehrwert des Diskontierungssummenfaktors

(2) Heutige Zahlung und jährliche Rente

Praxis-Beispiel

Ein Hamburger, der eine Lebensversicherung abgeschlossen hat, möchte seine im 63. Lebensjahr fällige Lebensversicherungssumme nicht bar auf die Hand, sondern zieht eine Verrentung vor. Welche Jahresrente wird ihm die Versicherungsgesellschaft anbieten, wenn die Versicherungssumme auf 500.000 Euro lautet, eine statistische Restlebenserwartung von 10 Jahren anzusetzen ist und mit einem Kalkulationszinssatz von 0,10 = 10% gerechnet wird?

Lösung:

g	=	K0 x KWF10
g	=	500.000 x 0,162745
g	=	81.373 (Euro)

Abb. 30: Jahresrente aus heutiger Einmalzahlung

Ergebnis: Der Einmalbetrag von 500.000 Euro und die über 10 Jahre laufende Rente von 81.373 Euro sind beim Zinssatz von 10 % p. J. gleichwertig.

Praxis-Beispiel

Eine Investition mit einer Anschaffungsauszahlung von 90.000 Euro besitzt eine Lebensdauer von 8 Jahren. Der Investor, der mit einem Zinssatz von 0,08 = 8 % rechnet, will wissen, wie groß der Geldbetrag g ist, der jährlich netto eingenommen werden muss, um die Anschaffungsauszahlung wiederzugewinnen und die ausstehenden Beträge mit dem Kalkulationszinsfuß zu verzinsen.

Lösung:

g	=	A x KWF8
g	=	90.000 x 0,174015
g	=	15.661 (Euro)

Abb. 31: Jahresrente aus heutiger Einmalzahlung

Ergebnis:

Wenn jährlich netto 15.661 Euro eingenommen werden, so gewinnt man die Anschaffungsauszahlung in 8 Jahren wieder und erhält die innerhalb der 8 Jahre jeweils noch ausstehenden Beträge zum Kalkulationszinssatz von 8 % verzinst.

Praxis-Beispiel

Eine Hypothek von 150.000 Euro soll innerhalb von 15 Jahren mit gleichen Jahresleistungen (Annuitäten) verzinst und getilgt werden. Welche Höhe hat die Annuität bei einem Zinssatz von 8 %?

Lösung

Annuität	=	K0 x KWF15
Annuität	=	150.000 x 0,116830
Annuität	=	17.524,50 (Euro/Jahr)

Abb. 32: Jahresrente aus heutiger Einmalzahlung

Ergebnis:

Die Annuität beläuft sich auf 17.524,50 Euro pro Jahr.

(3) Heutige Zahlung und unterjährliche Rente

Für den Fall, dass die Rentenzahlung nicht jährlich, sondern unterjährlich erfolgt, bleibt die Verrentungsformel (24) unverändert anwendbar. Sie errechnet die einer heutigen Zahlung gleichwertige Rente, die über n Perioden läuft. Die Perioden können Jahre oder Jahresbruchteile (Halbjahre, Vierteljahre, Monate, Wochen usw.) sein. Wichtig ist, dass bei unterjährigen Rentenperioden der entsprechende Zinssatz (z. B. Zinssatz pro Monat) verwendet wird. Dabei kann es hilfreich sein, einen vorgegebenen Jahreszinssatz mit Hilfe der Zinsumrechnungsformel (13) in den zu ihm gehörenden Zinssatz der unter...