Chi²-Test im Risikocontrolling / 3 Parameterschätzungen

Schätzung aus Stichprobenparametern

In der Praxis werden Stichproben häufig zur Schätzung von statistischen Parametern großer Grundgesamtheiten eingesetzt, um den mit einer Vollerhebung verbundenen Aufwand zu reduzieren. Bei solch einer Schätzung wählt man aus der Grundgesamtheit zufällig eine Stichprobe aus und berechnet für diese Stichprobe den gesuchten Stichprobenparameter, der dann als Schätzwert für den unbekannten, wahren Parameter der Grundgesamtheit verwendet wird. Ein bekanntes Beispiel hierfür liefert die Rechnungsprüfung, wo aus der Grundgesamtheit aller Buchungsbelege in Form einer Stichprobe zufällig Belege entnommen werden, um somit Hinweise auf Abweichungen in der gesamten Rechnungslegung zu gewinnen.

Stichprobenfehler

Da die Zusammensetzung der Stichprobe zufällig entstanden ist, stellen die Stichprobenparameter selbst Zufallsvariablen dar, d. h., die Schätzwerte fallen nie ganz exakt mit den wahren Parametern zusammen, da sie stets von der zufällig ausgewählten Stichprobe abhängen. Folglich ist die Parameterschätzung von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit (Inferenzschluss) stets mit einem Zufallsfehler (Stichprobenfehler) behaftet. Der Zufallsfehler, meist als Fehler ε bezeichnet, ist bei einer Stichprobe unvermeidbar, kann aber durch die Vergrößerung des Umfangs der Teilerhebung beliebig verkleinert werden. Darüber hinaus kann der Zufallsfehler in der Praxis häufig als normalverteilt angenommen werden, was das Schätzen von Parametern weiterhin vereinfacht.

Stichprobenmittelwert und -varianz

Möchte man etwa aus einer Stichprobe den Mittelwert einer Grundgesamtheit schätzen, so ist zunächst der Stichprobenparameter x¯, d. h. der empirische Mittelwert, zu berechnen, der dann als Schätzung für den wahren Mittelwert µ der Grundgesamtheit herangezogen werden kann. Der zugehörige Stichprobenfehler ε kann ab einem Stichprobenumfang von n ≥ 10 als normalverteilt angenommen werden kann, d. h. ε = µ - x¯ bzw. ε = x¯ – µ ist selbst als Zufallsvariable normalverteilt mit dem Mittelwert 0 und einer Varianz σ² / n.

In diesem Zusammenhang treten folgende Größen in Erscheinung:

Stichprobenumfang: n

Stichprobengrößen: (empirische Größen)

Mittelwert:
Varianz:

Größen der Grundgesamtheit: (wahre Größen)

Mittelwert µ (unbekannt)

Varianz σ² (unbekannt)