Finanzmathematik für Controller / 3.5 Verrentung einer späteren Zahlung

(1) Problem und Lösung

Problem:

Bekannt ist die spätere Zahlung der Höhe Kn. Gesucht ist die zugehörige Rente mit der regelmäßigen Zahlung von g über n Perioden beim Zinssatz i.

Lösung:

Verrentung späterer Zahlung

Die Umrechnung einer einmaligen späteren Zahlung in eine Renten-Zahlungsreihe heißt Verrentung. Renten-Zahlungsreihe und spätere Einmalzahlung müssen wirtschaftlich gleichwertig (äquivalent) sein.

Abb. 36: Verrentung einer späteren Einmalzahlung

Die Verrentungsformel (24) zeigt, wie man eine heutige Einmalzahlung mit Hilfe des Kapitalwiedergewinnungsfaktors (KWF) in eine Renten-Zahlungsreihe verwandelt. Zur Verrentung einer späteren Zahlung bietet sich daher folgender Weg mit zwei Schritten an:

1. Man zinst zunächst Kn auf den Zeitpunkt 0 ab.
2. Sodann legt man den so gefundenen Gegenwartswert K0 des Endwertes Kn mit Hilfe des Kapitalwiedergewinnungsfaktors (KWF) auf n Perioden um.

Abb. 37: Zwei Schritte zur Verrentung einer späteren Zahlung

Somit erhält man die Gleichung:

RVF = Restwertverteilungsfaktor

Restwert- verteilungsfaktor

Der in dieser Rechnung verwendete Faktor heißt Restwertverteilungsfaktor (RVF). Er gestattet die Ermittlung jener Zahlungsreihe, die einem einmaligen Betrag zum Zeitpunkt n äquivalent (gleichwertig) ist, d.h., er verteilt eine nach n Jahren fällige Einmalzahlung unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszins auf die Laufzeit von n Jahren (Kurzformel: verwandelt "Einmalzahlung nach n Jahren" in Zahlungsreihe).

Der Controller nutzt den Restwertverteilungsfaktor, wenn es darum geht,

• eine spätere Einmalzahlung in eine Rente umzurechnen,
• den Restwert einer Investition auf die Jahre der Nutzung zu verteilen,
• eine nach Ablauf einer Investition fällige Abschlusszahlung auf die Produktionsjahre umzulegen,
• die für ein gegebenes Endkapital notwendigen Sparraten zu ermitteln.

(2) Spätere Zahlung und jährliche Rente

Praxis-Beispiel

Eine über 7 Jahre laufende Investition verspricht, nach Ablauf der 7 Jahre einen Restwert von 20.000 Euro abzuwerfen. Wie hoch ist der anteilige Restwert pro Periode, wenn der Investor mit einem Kalkulationszinssatz von 0,10 = 10 % rechnet?

Lösung:

g	=	R • RVF7
g	=	20.000 • 0,105405
g	=	2.108 (Euro)

Abb. 38: Verrentung einer späteren Einmalzahlung

(3) Spätere Zahlung und unterjährliche Rente

Wenn die Rentenperiode kleiner als ein Jahr, also unterjährig ist, bleibt die Verrentungsformel (26) für spätere Einmalzahlung unverändert anwendbar. Sie errechnet die der späteren Einmalzahlung gleichwertige Rente, welche über n Perioden läuft. Die Perioden können Jahre oder Jahresbruchteile (Halbjahre, Vierteljahre, Monate, Wochen usw.) sein. Wichtig ist, dass bei unterjährigen Rentenperioden der entsprechende Zinssatz (z. B. Monatszinssatz) verwendet wird. Dabei kann es hilfreich sein, einen vorgegebenen Jahreszinssatz mit Hilfe der Zinsumrechnungsformel (13) in den zu ihm gehörenden Zinssatz der unterjährigen Periode umzuwandeln.

Praxis-Beispiel

Die Montan AG baut eine erzhaltige Gesteinsschicht ab, die unter einem Dorf verläuft. Nach Abschluss der neunjährigen Abbauarbeiten sind aus geologischen Gründen Bergschäden zu erwarten, die Entschädigungszahlungen von 20 Mio. Euro erforderlich machen. Die Montan AG schließt eine Versicherung zur späteren Regulierung der Bergschäden ab. Welche halbjährlich vorschüssig fällige Prämie g muss die Versicherung verlangen, wenn sie mit i = 0,1025 = 10,25 % p. J. kalkuliert?

Lösung:

Zum Jahreszinssatz von r = 10,25 % gehört gemäß Zinsumrechnungsformel (13) der folgende effektive Halbjahreszinssatz rv:

g	=	Bergschäden x RVF18
g	=	20.000.000 x 0,035546
g	=	710.920 (Euro)

Abb. 39: Verrentung einer späteren Einmalzahlung

Ergebnis: Die jedem Produktionsjahr anzulastenden Bergschäden betragen 710.920 Euro.

(4) Spätere Zahlung und vorschüssige Rente

Die zu einer späteren Zahlung gehörige vorschüssige Rente wird mit Hilfe des Abzinsungsfaktors (AbF) und des Restwertverteilungsfaktors (RVF) errechnet. Der folgende Zeitstrahl zeigt die Rechnung.

Lösung:

Abb. 40: Vorschüssige Rente aus späterer Einmalzahlung

(27)

Symbole

Kn	=	Endwert zum Zeitpunkt n
n	=	Anzahl der Perioden
g	=	Geldbetrag pro Periode
i	=	Zinssatz in Dezimalform
AbF	=	Abzinsungsfaktor
RVF	=	Restwertverteilungsfaktor

Praxis-Beispiel

Ein Elternpaar möchte sein Kind später bei dessen Ausbildung finanziell unterstützen. Zu diesem Zweck soll während der ersten zwanzig Lebensjahre des Kindes nach und nach ein Guthaben von 50.000 Euro aufgebaut werden. Wie viel müssen die Eltern vierteljährlich vorschüssig einzahlen, wenn die Bank vierteljährlich 2% Guthabenzinsen gewährt?

Abb. 41: Vorschüssige Rente aus späterer Einmalzahlung

g = Kn x AbF1 x RVF80

g = 50.000 x 0,980392 x 0,005161

g = 252,99 (Euro)

Ergebnis:

Es sind 20 Jahre lang zum Quartalsbeginn 252,99 Euro einzuzahlen. Diese Renten-Zahlungsreihe ist beim Zinssatz von 2% p. Q. der späteren Einmalzahlung von 50.000 Euro äquivalent.

Praxis-Beispiel

Ein Pensionär besitzt Zero-Bonds (Nullkuponanleihen). Diese werden abgezinst begeben und aufgezinst zurückgezahl...